Question

一個(gè)均勻的正四面體面上分別涂有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b、c．
（Ⅰ）記z=（b-3）²+（c-3）²，求z=4的概率；
（Ⅱ）若方程x²-bx-c=0至少有一根a∈1，2，3，4，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率．

Answer 1

分析：（I）由于我們要將均勻的面上分別涂有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字的正四面體隨機(jī)投擲兩次，故基本事件共有4×4=16個(gè)，然后求出z=4時(shí)，基本事件的個(gè)數(shù)，代入古典概型公式即可得到結(jié)果．
（II）分類討論方程根分別為1，2，3，5時(shí)，基本事件的個(gè)數(shù)，然后代入古典概型公式即可得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)槭峭稊S兩次，因此基本事件（b，c）共有4×4=16個(gè)
當(dāng)z=4時(shí)，（b，c）的所有取值為（1，3）、（3，1）
所以P(z=4)=

2

16

=

1

8

（Ⅱ）①若方程一根為x=1，則1-b-c=0，即b+c=1，不成立．
②若方程一根為x=2，則4-2b-c=0，即2b+c=4，所以

b=1 c=2

．
③若方程一根為x=3，則9-3b-c=0，即3b+c=9，所以

b=2 c=3

．
④若方程一根為x=4，則16-4b-c=0，即4b+c=16，所以

b=3 c=4

．
綜合①②③④知，（b，c）的所有可能取值為（1，2）、（2，3）、（3，4）
所以，“漂亮方程”共有3個(gè)，方程為“漂亮方程”的概率為p=

3

16

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)是等可能性事件的概率，求出基本事件的總數(shù)和滿足某個(gè)事件的基本事件個(gè)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．