Question

（2013•杭州二模）已知函數(shù)f（x）=-x³+ax（a＞0）．
（I）當a=1時，求過點P（-1，0）且曲線y=f（x）相切的直線方程；
（Ⅱ）當x∈[0，1]時，不等式

1

4

x-

1

4

≤f(x)≤

1

4

x+

1

4

恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析：（I）當a=1時，點P在曲線上，即為切點，切線斜率k=f′（-1），利用點斜式即可求得切線方程；
（Ⅱ）不等式

1

4

x-

1

4

≤f(x)≤

1

4

x+

1

4

恒成立，等價于

1

4

x-

1

4

≤-x3+ax恒成立，且-x3+ax≤

1

4

x+

1

4

恒成立，分別分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決即可；

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=）=-x³+x，f（-1）=1-1=0，即點P在曲線y=f（x）上，
f′（x）=-3x²+1，切線斜率k=f′（-1）=-3+1=-2，
所以與曲線y=f（x）相切的直線方程為：y=-2（x+1），即y=-2x-2；
（Ⅱ）

1

4

x-

1

4

≤f(x)≤

1

4

x+

1

4

，即

1

4

x-

1

4

≤-x3+ax≤

1

4

x+

1

4

，
等價于

1

4

x-

1

4

≤-x3+ax恒成立，且-x3+ax≤

1

4

x+

1

4

恒成立，
（1）當x=0時，

1

4

x-

1

4

≤-x3+ax，即-

1

4

≤0，顯然成立，a∈R；
當0＜x≤1時，a≥x²-

1

4x

+

1

4

，而x²-

1

4x

+

1

4

在（0，1]上遞增，
所以當x=1時，x²-

1

4x

+

1

4

取得最大值1，所以a≥1，
故

1

4

x-

1

4

≤-x3+ax恒成立時，a≥1；
（2）當x=0時，-x3+ax≤

1

4

x+

1

4

，即0≤

1

4

，顯然成立，此時a∈R；
當0＜x≤1時，a≤x²+

1

4x

+

1

4

，
令h（x）=x²+

1

4x

+

1

4

，則h′（x）=2x-

1

4x2

=

(2x-1)(4x2+2x+1)

4x2

，
當0＜x＜

1

2

時，h′（x）＜0，h（x）遞減，當

1

2

＜x≤1時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
所以h（x）在（0，1]上的最小值為h（

1

2

）=

1

4

+

1

2

+

1

4

=1，所以a≤1，
故-x3+ax≤

1

4

x+

1

4

恒成立時，a≤1，
綜上所述，當x∈[0，1]時，不等式

1

4

x-

1

4

≤f(x)≤

1

4

x+

1

4

恒成立，a的取值集合{1}．

點評：本題考查利用導數(shù)求曲線上某點處的切線方程、求函數(shù)的最值，考查學生分析解決問題的能力，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．