Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）在已知數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后即可證得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求出數(shù)列{a_n}的通項公式，代入b_n+1=a_n+b_n，然后利用累加法求數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答： （Ⅰ）證明：由S_n=3a_n-2，得S_n-1=3a_n-1-2（n≥2），
兩式作差得：a_n=3a_n-3a_n-1，
2a_n=3a_n-1（n≥2），
由S_n=3a_n-2，得a₁=S₁=3a₁-2，a₁=1≠0．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a1=1，q=

3

2

，
∴an=(

3

2

)n-1．
由b_n+1=a_n+b_n，得bn+1-bn=(

3

2

)n-1，
又b₁=-3，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=(

3

2

)n-2+(

3

2

)n-3+…+

3

2

+1-3
=

1-( 3 2 )n-1

1- 3 2

-3
=2•(

3

2

)n-1-5．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．