Question

7．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x+a-1（a為常數(shù)），若函數(shù)f（x）的最大值為$\sqrt{2}$+1．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）所有對稱中心的坐標；
（3）求函數(shù)g（x）=f（x+$\frac{3}{8}$π）+2減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的正弦、輔助角公式可化簡f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+a，再由f（x）_max=$\sqrt{2}$+1即可求得實數(shù)a的值；
（2）由2x+$\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z）可求得函數(shù)f（x）所有對稱中心的坐標；
（3）化簡函數(shù)g（x）=f（x+$\frac{3}{8}$π）+2=-$\sqrt{2}$sin2x+3，再由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）即可求得函數(shù)g（x）=f（x+$\frac{3}{8}$π）+2減區(qū)間．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x+a-1
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+cos2x+a
=sin2x+cos2x+a
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+a，…（2分）
由f（x）_max=$\sqrt{2}$+1得a=1 …（4分）
（2）由2x+$\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z）得：x=$\frac{k}{2}$π-$\frac{π}{8}$（k∈Z），
所以，函數(shù)f（x）所有對稱中心的坐標為（$\frac{k}{2}$π-$\frac{π}{8}$，1），k∈Z．…（8分）
（3）g（x）=f（x+$\frac{3}{8}$π）+2=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{3π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]+1+2
=-$\sqrt{2}$sin2x+3，…（10分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：
單調遞減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z） …（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，著重考查兩角和與差的正弦、輔助角公式的應用及正弦函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題．