Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

2

2

，F(xiàn)是右焦點，A是右頂點，B是橢圓上一點，BF⊥x軸，|BF|=

2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：x=ty+λ是橢圓C的一條切線，點M（-

2

，y₁），點N（

2

，y₂）是切線l上兩個點，證明：當(dāng)t、λ變化時，以 M N為直徑的圓過x軸上的定點，并求出定點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，c的方程組求解即可；
（2）根據(jù)條件將直線方程x=ty+λ代入橢圓的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達定理得到交點M，N縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系，然后根據(jù)題意寫出以MN為直徑的圓的方程，則求出圓與x軸交點的坐標(biāo)，只要是常數(shù)即可．

解答： 解：（1）由題意設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)①焦點F（c，0），
因為

c

a

=

2

2

②，
將點B（c，

2

2

）代入方程①得

c2

a2

+

1

2b2

=1③
由②③結(jié)合a²=b²+c²得：a=

2

，b=1．
故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．

（2）由

x2 2 +y2=1 x=ty+λ

得（2+t²）y²+2tλy+λ²-2=0．
∵l為切線，
∴△=（2tλ）²-4（t²+2）（λ²-2）=0，
即t²-λ²+2=0①
設(shè)圓與x軸的交點為T（x₀，0），則

TM

=(-

2

-x0，y1)，

TN

=(

2

-x0，y2)，
∵MN為圓的直徑，
∴

TM

•

TN

=x02-2+y1y2=0②
因為y1=

- 2 -λ

t

，y2=

2 -λ

t

，所以y1y2=

λ2-2

t2

，代入②及①得

TM

•

TN

=

(x02-2)t2+λ2-2

t2

=

(x02-1)t2

t2

，
要使上式為零，當(dāng)且僅當(dāng)x02=1，解得x₀=±1，
所以T為定點，故動圓過x軸上的定點是（-1，0）與（1，0），即兩個焦點．

點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與圓、橢圓的位置關(guān)系等問題的處理方法，屬于綜合題，有一定難度．