設(shè)函數(shù)f（x）=cosx（sinx-3cosx）-
2
sinxsin（x-
π
4
）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求f（x）的對(duì)稱中心；
（3）將y=f（x）的圖象按向量
m
平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，求長(zhǎng)度最小的
m
．
考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）根據(jù)正余弦的二倍角公式，正弦的兩角差公式容易把原函數(shù)化簡(jiǎn)成：f（x）=
2
sin(2x-
π
4
)-2．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心（kπ，0）容易求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心．
（3）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，說(shuō)明原點(diǎn)是平移后函數(shù)的對(duì)稱中心，可以認(rèn)為將對(duì)稱中心平移到原點(diǎn)，這就從對(duì)稱中心到原點(diǎn)建立了向量
m
，所以能求出向量
m
的坐標(biāo)．
解答： 解：（1）f（x）=cosxsinx-3cos2x-sin2x+sinxcosx=sin2x-
3(1+cos2x)
2
-
1-cos2x
2
=
2
sin(2x-
π
4
)-2；
∴當(dāng)sin(2x-
π
4
)=1時(shí)，f（x）取最大值
2
-2．
（2）由2x-
π
4
=kπ得x=
kπ
2
+
π
8
，k∈z，∴f（x）的對(duì)稱中心為（
kπ
2
+
π
8
，-2）．
（3）由（2）知：
m
=(-
kπ
2
-
π
8
，2)，∴|
m
|=
(
kπ
2
+
π
8
)2+4
．
∴當(dāng)k=0，|
m
|最小，此時(shí)
m
=(-
π
8
，2)．
點(diǎn)評(píng)：考查二倍角的正余弦公式，兩角差的正弦公式，對(duì)稱中心的概念及正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，向量平移的內(nèi)容．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=-4x2+4ax-4a-a2（a＜0）在區(qū)間[0，1]有最大值-12，則實(shí)數(shù)a等于（　�。�
A、-6B、-5C、-4D、-3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，-π＜φ＜π）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）求方程f（x）=1的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
a(x-1)
x+1
（a∈R，a≠0），g（x）=x2+x．
（1）求函數(shù)h（x）=alnx-
a(x-1)
x+1
•g（x）的單調(diào)區(qū)間，并確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）證明不等式 
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n+1
＜ln
n+1
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x|x≤-3或x≥2}，B={x|1＜x＜5}．求A∩B和（∁RA）∪B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A={x|x3-7x2+14x-8=0}，B={x|x3+2x2-c2x-2c2=0，c＞0}
（1）求A，B的各個(gè)元素；
（2）以集合A∪B的任意元素a，b作為二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)根，在f（x）=x2+px+q的最小值中，求出最大的a，b的值或最小的a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2
3
x3-2ax2-3x．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程；
（2）對(duì)一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx-3a-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，試討論f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=x2-xlnx圖象上的點(diǎn)P（1，1）處的切線方程；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ax2-1nx，x∈（0，e]，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R對(duì)于任意的x∈（0，e]，f（x）≥3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-ax+（a-1）lnx．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與x+y+3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）對(duì)于任意x1，x2∈（0，+∞），x1＞x2，有f（x1）-f（x2）＞x2-x1，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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