Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cosx（sinx-3cosx）-

2

sinxsin（x-

π

4

）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求f（x）的對稱中心；
（3）將y=f（x）的圖象按向量

m

平移后得到的圖象關(guān)于坐標原點對稱，求長度最小的

m

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)正余弦的二倍角公式，正弦的兩角差公式容易把原函數(shù)化簡成：f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-2．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心（kπ，0）容易求出函數(shù)f（x）的對稱中心．
（3）圖象關(guān)于原點對稱，說明原點是平移后函數(shù)的對稱中心，可以認為將對稱中心平移到原點，這就從對稱中心到原點建立了向量

m

，所以能求出向量

m

的坐標．

解答： 解：（1）f（x）=cosxsinx-3cos²x-sin²x+sinxcosx=sin2x-

3(1+cos2x)

2

-

1-cos2x

2

=

2

sin(2x-

π

4

)-2；
∴當sin(2x-

π

4

)=1時，f（x）取最大值

2

-2．
（2）由2x-

π

4

=kπ得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈z，∴f（x）的對稱中心為（

kπ

2

+

π

8

，-2）．
（3）由（2）知：

m

=(-

kπ

2

-

π

8

，2)，∴|

m

|=

( kπ 2 + π 8 )2+4

．
∴當k=0，|

m

|最小，此時

m

=(-

π

8

，2)．

點評：考查二倍角的正余弦公式，兩角差的正弦公式，對稱中心的概念及正弦函數(shù)的對稱中心，向量平移的內(nèi)容．