Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x³-2ax²-3x．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程；
（2）對(duì)一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，試討論f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程；
（Ⅱ）由題意：2ax²+1≥lnx，即a≥

lnx-1

2x2

，求出右邊的最大值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）分類討論，利用極值的定義，即可討論f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知f(x)=

2

3

x3-3x，所以f′（x）=2x²-3
又f（3）=9，f′（3）=15
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程為15x-y-36=0…（4分）
（Ⅱ）由題意：2ax²+1≥lnx，即a≥

lnx-1

2x2

設(shè)g(x)=

lnx-1

2x2

，則g′(x)=

3-2lnx

2x3

當(dāng)0＜x＜e

3

2

時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)x＞e

3

2

時(shí)，g′（x）＜0
所以當(dāng)x=e

3

2

時(shí)，g（x）取得最大值g(x)max=

1

4e3

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[

1

4e3

，+∞)．…（9分）
（Ⅲ）f′（x）=2x²-4ax-3，f′(-1)=4(a-

1

4

)，f′(1)=-4(a+

1

4

)
①當(dāng)a＞

1

4

時(shí)，∵

f′(-1)=4(a- 1 4 )＞0 f′(1)=-4(a+ 1 4 )＜0

∴存在x₀∈（-1，1），使得f′（x₀）=0
因?yàn)閒′（x）=2x²-4ax-3開口向上，所以在（-1，x₀）內(nèi)f′（x）＞0，在（x₀，1）內(nèi)f′（x）＜0
即f（x）在（-1，x₀）內(nèi)是增函數(shù)，f（x）在（x₀，1）內(nèi)是減函數(shù)
故a＞

1

4

時(shí)，f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)．…（11分）
②當(dāng)0＜a≤

1

4

時(shí)，因 

f′(-1)=4(a- 1 4 )≤0 f′(1)=-4(a+ 1 4 )＜0

又因?yàn)閒′（x）=2x²-4ax-3開口向上
所以在（-1，1）內(nèi)f′（x）＜0，則f（x）在（-1，1）內(nèi)為減函數(shù)，故沒有極值點(diǎn)…（13分）
綜上可知：當(dāng)a＞

1

4

，f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)0＜a≤

1

4

時(shí)，f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．