已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的

，與兩數(shù)中至少有一個屬于。

（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（Ⅱ）證明：，且；

（Ⅲ）證明：當(dāng)時，成等比數(shù)列。

（Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P； 由于都屬于數(shù)集，∴該數(shù)集具有性質(zhì)P。

（Ⅱ）證明見解析。

（Ⅲ）證明見解析。


解析:

本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分

分類討論等數(shù)學(xué)思想方法。本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題。

（Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P；由于都屬于數(shù)集， ∴該數(shù)集具有性質(zhì)P。

（Ⅱ）∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個屬于A，

由于，∴，故。

從而，∴。

∵， ∴，故。

          由A具有性質(zhì)P可知。

又∵，

∴，

從而，

∴。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，有，即，

      ∵，∴，∴，

由A具有性質(zhì)P可知。

由，得，且，∴，

∴，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…an，n≥2）具有性質(zhì)P；對任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj與
aj
ai
兩數(shù)中至少有一個屬于A．
（I）分別判斷數(shù)集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
（Ⅱ）證明：a1=1，且
a1+a2+…+an
a
-1
1
+
a
-1
2
+…+
a
-1
n
=an；
（Ⅲ）證明：當(dāng)n=5時，a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009高考真題匯編3-數(shù)列 題型：解答題

已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的
，與兩數(shù)中至少有一個屬于。
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（Ⅱ）證明：，且；
（Ⅲ）證明：當(dāng)時，成等比數(shù)列。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)集，其中，且，若對（），與兩數(shù)中至少有一個屬于，則稱數(shù)集具有性質(zhì)．

（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與數(shù)集是否具有性質(zhì)，說明理由；

（Ⅱ）已知數(shù)集具有性質(zhì)，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，請證明；若不是，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：云南省2010-2011學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)測試：數(shù)列（2） 題型：解答題

 已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的

，與兩數(shù)中至少有一個屬于。

   （I）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；

   （Ⅱ）證明：，且

   （Ⅲ）證明：當(dāng)時，成等比數(shù)列。

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