Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，=（S_n，1），=，．
（Ⅰ）求證：為等差數(shù)列；
（Ⅱ） 若，問是否存在n₀，對于任意k（k∈N^*），不等式成立．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵，=（S_n，1），=，
∴，
∴
兩式相減，整理可得，∴，
又n=1時(shí)，，∴a₁=-4，∴=-2
∴是以-2為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
∴，
令b_n+1≥b_n，
∴（2012-n）2ⁿ⁺¹≥（2013-n）2ⁿ，
∴n≤2011
∴b_n的最大值為，
∴存在n₀=2011或2012，對于任意k（k∈N^*），不等式成立．
分析：（Ⅰ）根據(jù)，利用向量的數(shù)量積公式，可得，再寫一式，兩式相減，整理可得是以-2為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，令b_n+1≥b_n，即可知b_n的最大值，由此可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問題的恩了，屬于中檔題．