Question

1．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．
（Ⅰ）若橢圓E的長軸長、短軸長、焦距成等差數(shù)列，求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）若橢圓E過點A（0，-2），直線AF₁，AF₂與橢圓的另一個交點分別為點B，C，且△ABC的面積為$\frac{50c}{9}$，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2b=a+c，由b²=a²-c²，利用離心率公式即可求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）把直線AF₂：y=$\frac{2}{c}$x-2，代入橢圓方程，求得C點坐標，利用三角形的面積公式，即可求得c的值，則a²=b²+c²=5，求得橢圓方程．

解答 解：（Ⅰ）由長軸長、短軸長、焦距成等差數(shù)列，
則2b=a+c，則4b²=a²+2ac+c²，
由b²=a²-c²，則4（a²-c²）=a²+2ac+c²，
∴3a²-5c²-2ac=0，
  兩邊同除以a²，5e²+2e-3=0，
  由0＜e＜1，解得e=$\frac{3}{5}$，
（2）由已知可得b=2，
  把直線AF₂：y=$\frac{2}{c}$x-2，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
整理得：（a²+c²）x²-2a²cx=0，
∴x=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{（4+{c}^{2}）c}{{c}^{2}+2}$，
∴C（$\frac{（4+{c}^{2}）c}{{c}^{2}+2}$，y），
 由橢圓的對稱性及平面幾何知識可知，△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$×2x×（y+2）=$\frac{2}{c}{x}^{2}$=$\frac{2}{c}$[$\frac{（4+{c}^{2}）c}{{c}^{2}+2}$]²，
∴$\frac{2}{c}$[$\frac{（4+{c}^{2}）c}{{c}^{2}+2}$]²=$\frac{50c}{9}$，解得：c²=1，
a²=b²+c²=5，
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．