【答案】
分析:解法一:(1)作CF⊥BE,垂足為F,得出CF⊥平面BDE,CF⊥DE.繼而PD=PC,所以E為PC的中點(diǎn).(2)作EG⊥DC,垂足為G,則EG∥PD,作GH⊥BD,垂足為H,連接EH,則∠EHG為二面角A-BD-E的平面角的補(bǔ)角,在Rt△EGH中求解.
解法二:不妨設(shè)BC=1,則PD=DC=2.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz求解.(1)設(shè)

=

,則E(0,

,

).由平面BDE⊥平面PBC,應(yīng)有兩平面的法向量也互相垂直,轉(zhuǎn)化為兩法向量數(shù)量積零,建立關(guān)于λ的方程并解之.
(2)利用面BDE、面ADB的法向量夾角求出二面角A-BD-E的大小.
解答:
解法一:(1)證明:如圖,作CF⊥BE,垂足為F,由平面BDE⊥平面PBC,
則CF⊥平面BDE,知CF⊥DE.因?yàn)镻D⊥平面ABCD,BC⊥CD,
CD為DE在平面ABCD內(nèi)的射影,所以BC⊥DE,所以DE⊥平面PBC.
于是DE⊥PC,又PD=PC,所以E為PC的中點(diǎn).…(6分)
(2)作EG⊥DC,垂足為G,則EG∥PD,從而EG⊥平面ABCD.
作GH⊥BD,垂足為H,連接EH,則BD⊥EH,
故∠EHG為二面角A-BD-E的平面角的補(bǔ)角.…(9分)
不妨設(shè)BC=1,則PD=DC=2,在Rt△EGH中,EG=

PD=1,
GH=

=

,∴tan∠EHC=

=

.因此二面角A-BD-E的大小為π-arctan

.

解法二:不妨設(shè)BC=1,則PD=DC=2.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
則D(0,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2).
(1)證明:設(shè)

=

,則E(0,

,

).
設(shè)

=(x
1,y
1,z
1)為面PBC的法向量,則

⊥

,

⊥

,
又

=(1,0,0),

=(0,-2,2),∴


=x
1=0,


=-2y
1+2z
1=0,
取

=(0,1,1).設(shè)

=(x
2,y
2,z
2)為面BDE的法向量,
則

⊥

,

⊥

,又

=(1,2,0),

=(0,

,

),∴


=x
2+2y
2=0,


=

+

=0,
取

=(2λ,-λ,1).∵平面BDE⊥平面PBC,∴

•

=-λ+1=0,λ=1.所以E為PC的中點(diǎn).…(6分)
(2)由(Ⅰ)知,

=(2,-1,1)為面BDE的法向量,又

=(0,0,1)為面ADB的法向量,
∵cos<

,

>=

=

,所以二面角A-BD-E的大小為π-arccos

.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷,二面角大小求解,方程思想.考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力.利用向量這一工具,解決空間幾何體問題,能夠降低思維難度.