Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，側(cè)棱PD垂直于底面，PD=DC=2BC，E為棱PC上的點(diǎn)，且平面BDE⊥平面PBC．
（1）求證：E為PC的中點(diǎn)；
（2）求二面角A-BD-E的大�。�

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）作CF⊥BE，垂足為F，得出CF⊥平面BDE，CF⊥DE．繼而PD=PC，所以E為PC的中點(diǎn)．（2）作EG⊥DC，垂足為G，則EG∥PD，作GH⊥BD，垂足為H，連接EH，則∠EHG為二面角A-BD-E的平面角的補(bǔ)角，在Rt△EGH中求解．
解法二：不妨設(shè)BC=1，則PD=DC=2．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz求解．（1）設(shè)=，則E（0，，）．由平面BDE⊥平面PBC，應(yīng)有兩平面的法向量也互相垂直，轉(zhuǎn)化為兩法向量數(shù)量積零，建立關(guān)于λ的方程并解之．
（2）利用面BDE、面ADB的法向量夾角求出二面角A-BD-E的大小．
解答：解法一：（1）證明：如圖，作CF⊥BE，垂足為F，由平面BDE⊥平面PBC，
則CF⊥平面BDE，知CF⊥DE．因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC⊥CD，
CD為DE在平面ABCD內(nèi)的射影，所以BC⊥DE，所以DE⊥平面PBC．
于是DE⊥PC，又PD=PC，所以E為PC的中點(diǎn)．…（6分）
（2）作EG⊥DC，垂足為G，則EG∥PD，從而EG⊥平面ABCD．
作GH⊥BD，垂足為H，連接EH，則BD⊥EH，
故∠EHG為二面角A-BD-E的平面角的補(bǔ)角．…（9分）
不妨設(shè)BC=1，則PD=DC=2，在Rt△EGH中，EG=PD=1，
GH==，∴tan∠EHC==．因此二面角A-BD-E的大小為π-arctan．
解法二：不妨設(shè)BC=1，則PD=DC=2．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則D（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）證明：設(shè)=，則E（0，，）．
設(shè)=（x₁，y₁，z₁）為面PBC的法向量，則⊥，⊥，
又=（1，0，0），=（0，-2，2），∴=x₁=0，=-2y₁+2z₁=0，
取=（0，1，1）．設(shè)=（x₂，y₂，z₂）為面BDE的法向量，
則⊥，⊥，又=（1，2，0），=（0，，），∴=x₂+2y₂=0，=+=0，
取=（2λ，-λ，1）．∵平面BDE⊥平面PBC，∴•=-λ+1=0，λ=1．所以E為PC的中點(diǎn)．…（6分）
（2）由（Ⅰ）知，=（2，-1，1）為面BDE的法向量，又=（0，0，1）為面ADB的法向量，
∵cos＜，＞==，所以二面角A-BD-E的大小為π-arccos．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，方程思想．考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．