已知橢圓
x2
3
+
y2
2
=1，斜率為k（k≠0）且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為C，直線OC交橢圓左準(zhǔn)線為點(diǎn)D（x0，y0），則x02+y02+k2的最小值為（　　）
分析：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，（b≠0），代入橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出D點(diǎn)的坐標(biāo)（x0，y0），表示出則x02+y02+k2，利用基本不等式求最小值．
解答：解：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，（b≠0），
則
y=kx+b
2x2+3y2=6
⇒（2+3k2）x2+6kbx+3b2-6=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則xC=
x1+x2
2
=-
3bk
2+3k2
，yC=
2b
2+3k2
，
∵橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=-3，∴x0=-3，
∴
y0
-3
=
yC
xC
⇒y0=
6
3k
，
∴x02+y02+k2=9+
4
k2
+k2≥9+4=13，
當(dāng)k=±2時 取“=”，
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了基本不等式的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，有一定的運(yùn)算量，計算要細(xì)心．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
3
+
y2
4
=1的焦點(diǎn)F與拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)關(guān)于直線x-y=0對稱．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)A（a，b），B（-a，0）（ab≠0，b2≠4a），M是拋物線C上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一交點(diǎn)為M1，M2．求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動時（只要M1，M2存在且M1≠M(fèi)2）直線M1M2恒過一定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓與雙曲線
x23
-y2=1有共同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P（2，3），求雙曲線的漸近線及橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的焦點(diǎn)F1（0，-1），F(xiàn)2（0，1），P為橢圓上一點(diǎn)，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，則橢圓的方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•長寧區(qū)二模）已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓
x2
3
+y2=1上，且BC邊經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)，頂點(diǎn)A是橢圓的另一個焦點(diǎn)，則△ABC的周長是
4
3
4
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C以雙曲線
x23
-y2=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)（M，N不是左右頂點(diǎn)），且以線段MN為直徑的圓過橢圓C左頂點(diǎn)A，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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