Question

8．已知函數(shù)f₁（x）=（x-λ）²，f₂（x）=lnx（x＞0，且x≠1）．
（Ⅰ）當(dāng)λ=1時，若對任意x∈（1，+∞），f₁（x）≥k•f₂（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）若λ∈（0，1），設(shè)f（x）=$\frac{{f}_{1}（x）}{{f}_{2}（x）}$，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷f'（x）的零點(diǎn)個數(shù)，并證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一：由題意，求導(dǎo)，若k≤0，則g′（x）＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得g（x）最大值，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
方法二：求導(dǎo)，分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得g（x）的最大值，求得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，即可求得f'（x）的零點(diǎn)個數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)λ=1時，對任意x∈（1，+∞），（x-1）²-k•lnx≥0恒成立，
令g（x）=（x-1）²-k•lnx，求導(dǎo)g′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2x-k}{x}$，
方法一：由x＞1，則2x²-2x=2x（x-1）＞0，
若k≤0，則g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=0，符合題意，
當(dāng)k＞0時，令g′（x）=0，解得：x₁=$\frac{1-\sqrt{1+2k}}{2}$＜0，x₂=$\frac{1+\sqrt{1+2k}}{2}$＞1，
則g（x）在（1，x₂）上是增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，x₂），g（x）＜g（1）=0，不符合題意，
綜上可知：k的取值范圍（-∞，0]；
方法二：2x²-2x-k=0，△=4+8k，
當(dāng)k≤-$\frac{1}{2}$，△≤0，則2x²-2x-k≥0，則g（x）在（1，+∞）上增函數(shù)，
g（x）＞g（1）=0，符合題意，
當(dāng)k≥-$\frac{1}{2}$，g′（x）=0，解得：x₁=$\frac{1-\sqrt{1+2k}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1+2k}}{2}$，
由-$\frac{1}{2}$＜k＜0，則x₁＜x₂＜1，在（1，+∞）上增函數(shù)，
當(dāng)k＞0，則x₁＜1＜x₂，則g（x）在（1，x₂）上是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，x₂），g（x）＜g（1）=0，不符合題意，
綜上可知：k的取值范圍（-∞，0]；
（Ⅱ）證明：由題意：f′（x）=$\frac{（x-λ）（2lnx+\frac{λ}{x}-1）}{l{n}^{2}x}$，
由此可得：x=λ為一個零點(diǎn)，
令h（x）=2lnx-$\frac{λ}{x}$-1，（x＞0），則h′（x）=$\frac{2x-λ}{{x}^{2}}$，
h（x）減區(qū)間為（0，$\frac{λ}{2}$），單調(diào)增區(qū)間（$\frac{λ}{2}$，+∞），
其中0＜λ＜1，則h_min（x）=h（$\frac{λ}{2}$）=2ln$\frac{λ}{2}$+1＜1-ln4＜0，
h（λ）=2lnλ≠0，h（1）=λ-1≠0，
當(dāng)x=$\sqrt{e}$＞$\frac{λ}{2}$，h（$\sqrt{e}$）=1+$\frac{λ}{\sqrt{e}}$-1＞0，
由函數(shù)存在定理及單調(diào)性可知：（$\frac{λ}{2}$，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)x₂，
取x=（$\frac{{λ}^{2}}{{e}^{2}}$＜$\frac{λ}{2}$），則h（$\frac{{λ}^{2}}{{e}^{2}}$）=4lnλ+$\frac{{e}^{2}}{λ}$-5，
令g（λ）在（0，1）上是減函數(shù)，
故當(dāng)λ∈（0，1）時，g（λ）＞g（1）=e²-5＞0，
即h（$\frac{{λ}^{2}}{{e}^{2}}$）＞0，
由零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性可知在（$\frac{{λ}^{2}}{{e}^{2}}$，$\frac{λ}{2}$）存在唯一x₃∈（$\frac{{λ}^{2}}{{e}^{2}}$，$\frac{λ}{2}$），
h（x₃）=0，
由h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（0，$\frac{λ}{2}$），即（0，$\frac{λ}{2}$）上h（x）存在唯一的零點(diǎn)x₃，
綜上可知f（x）共有三個零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，函數(shù)零點(diǎn)的判斷，函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，屬于中檔題．