Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ABB₁是菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E，F(xiàn)分別是AB₁，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：直線EF∥平面A₁ACC₁；
（2）在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面EFG⊥平面ABC，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接A₁C，A₁E．由已知條件得EF∥A₁C．由此能證明直線EF∥平面A₁ACC₁．
（2）連接EG，F(xiàn)G．由已知得△A₁AB是等邊三角形．由E是A₁B的中點(diǎn)，

BG

GA

=

1

3

，得EG⊥AB．由此能證明當(dāng)

BG

GA

=

1

3

時(shí)，平面EFG⊥平面ABC，

解答： （1）證明：連接A₁C，A₁E．
∵側(cè)面A₁ABB₁是菱形，E是AB₁的中點(diǎn)，
∴E也是A₁B的中點(diǎn)，
又F是BC的中點(diǎn)，∴EF∥A₁C．
∵A₁C?平面A₁ACC₁，EF?平面A₁ACC₁，
∴直線EF∥平面A₁ACC₁．
（2）解：當(dāng)

BG

GA

=

1

3

時(shí)，平面EFG⊥平面ABC，
證明如下：連接EG，F(xiàn)G．
∵側(cè)面A₁ABB₁是菱形，且∠A₁AB=60°，
∴△A₁AB是等邊三角形．
∵E是A₁B的中點(diǎn)，

BG

GA

=

1

3

，∴EG⊥AB．
∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，且平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，
∴EG⊥平面ABC．
又EG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的證明，考查使平面垂直的點(diǎn)的位置的確定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．