Question

已知函數f（x）=2sinxcosx-

3

cos2x．
（Ⅰ）求f（0）的值及函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f(x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)，得f(0)=-

3

．從而求出f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．得出當x=0時，f（x）取得最小值，x=

5π

12

時，f（x）取得最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)
∴f(0)=-

3

．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
∴當2x-

π

3

=-

π

3

，即x=0時，f（x）取得最小值-

3

；
當2x-

π

3

=

π

2

即x=

5π

12

時，f（x）取得最大值2．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，三角函數的應用，是一道綜合題．