是否存在常數(shù)C，使得不等式
x
2x+y
+
y
x+2y
≤C≤
x
x+2y
+
y
2x+y
對任意正數(shù)x、y恒成立？試證明你的結論．
分析：先用特殊情況確定出C=
2
3
，先證
x
2x+y
+
y
x+2y
≤
2
3
，再證
x
x+2y
+
y
2x+y
≥
2
3
．將不等式等價轉化．
解答：解：當x=y時，可由不等式得出C=
2
3
．
下面分兩個方面證明．
先證
x
2x+y
+
y
x+2y
≤
2
3
，此不等式?3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）?x2+y2≥2xy．
而 x2+y2≥2xy 顯然成立，
∴
x
2x+y
+
y
x+2y
≤
2
3
成立．
再證
x
x+2y
+
y
2x+y
≥
2
3
，
此不等式?3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）?2xy≤x2+y2．
而 2xy≤x2+y2顯然成立．
∴
x
x+2y
+
y
2x+y
≥
2
3
成立，
綜上，可知存在常數(shù)C=
2
3
，使對任何正數(shù)x、y不等式恒成立．
點評：先探索C值，然后分別證明不等式的前半部分和后半部分．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，nan+1=（n+1）an+cn（n+1），（c為常數(shù)）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=(
12
)nan，是否存在常數(shù)c，使得數(shù)列{bn}為遞減數(shù)列，若存在求出c的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（附加題）是否存在常數(shù)c，使得不等式
x
2x+y+z
+
y
x+2y+z
+
z
x+y+2z
≤c≤
x
x+2y+z
+
y
x+y+2z
+
z
2x+y+z

對于任意正數(shù)x，y，z恒成立？試證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知b＞-1，c＞0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x2+bx+c的圖象相切．
（1）設b=?（c），求?（c）；
（2）是否存在常數(shù)c，使得函數(shù)H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）內有極值點．若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），f（an）和g（an）滿足：a1=2，且（an+1-an）g（an）+f（an）=0．
（1）是否存在常數(shù)C，使得數(shù)列{an+C}為等比數(shù)列？若存在，證明你的結論；若不存在，請說明理由．
（2）設bn=3f（an）-[g（an+1）]2，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•湖北模擬）已知數(shù)列{an}的前n項和為{Sn}，又有數(shù)列{bn}滿足關系b1=a1，對n∈N*，有an+Sn=n，bn+1=an+1-an
（1）求證：{bn}是等比數(shù)列，并寫出它的通項公式；
（2）是否存在常數(shù)c，使得數(shù)列{Sn+cn+1}為等比數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，說明理由．

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