Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為定值，且cos∠F₁PF₂的最小值為-

1

9

，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

18

+

y2

13

=1

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓定義可知，所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，再結(jié)合余弦定理求出橢圓中的a，b的值即可

解答：解：∵

x2

2

-

y2

3

=1，∴c=

5

．
設(shè)|PF₁|+|PF₂|=2a（常數(shù)a＞0），2a＞2c=2

5

，
∴a＞

5

，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由余弦定理有cos∠F₁PF₂
=

m2+n2-|F1F2|2

2mn

=

(m+n)2-2mn-|F1F2|2

2mn

=

2a2-20

mn

-1
∵mn≤（

m+n

2

）²=a²，
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，mn取得最大值a²．
此時(shí)cos∠F₁PF₂取得最小值

2a2-20

a2

-1，
由題意

2a2-20

a2

-1=-

1

9

，
解得a²=18，
∴b²=a²-c²=18-5=13
∴P點(diǎn)的軌跡方程為

x2

18

+

y2

13

=1．
故答案為：

x2

18

+

y2

13

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，考查橢圓的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查余弦定理與基本不等式求最值．本題是圓錐曲線與基本不等式知識(shí)的一個(gè)綜合題，知識(shí)覆蓋面較廣．