Question

【題目】函數(shù)，，已知函數(shù)，的圖象存在唯一的公切線(xiàn).

（1）求的值；

（2）當(dāng)，時(shí)，證明：關(guān)于的不等式在上有解.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意易知兩函數(shù)圖象有唯一公共點(diǎn)，設(shè)為，從而得，解方程即可；

（2）根據(jù)條件可得在上有解，令，，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，即可得解.

（1）函數(shù)的圖象存在唯一的公切線(xiàn)等價(jià)于的圖象有唯一的公共點(diǎn)，且在處的切線(xiàn)重合，設(shè)，

所以

所以，.

（2）證明：關(guān)于的不等式在上有解關(guān)于的不等式在上有解.

令，，

則，，

所以，，

因?yàn)?/span>，，且，在時(shí)單調(diào)遞增，

所以在時(shí)單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，，

所以存在唯一，使得，

即，且.

所以在取得最小值

，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，

即的值域?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，

關(guān)于的不等式在上有解，

即證得，當(dāng)，時(shí)，關(guān)于的不等式在上有解.