Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
13.函數(shù)f(x)=x1nx-ax2-x(a∈R).
(I)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(II)若函數(shù)f(x)的圖象在直線y=-x圖象的下方,求a的取值范圍.

分析 (I)利用f′(1)=0得到a,并利用極值的充分條件進行檢驗即可;
(II)由題意可得:xlnx-ax2-x<-x,由x>0,可化為a>lnxx,設h(x)=lnxx,利用導數(shù)即可得到極值及其最值;

解答 解:(I)f′(x)=lnx-2ax,(x>0).
∵函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,∴f′(1)=0,即0-2a=0,解得a=0.
∴f′(x)=lnx,
當x∈(0,1)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減;
當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
∴函數(shù)f(x)在x=1時取得極小值.
(II)由題意可得:xlnx-ax2-x<-x,
∴xlnx-ax2<0,
∵x>0,∴a>lnxx
設h(x)=lnxx,則h′(x)=1lnxx2,
令h′(x)>0,解得0<x<e,∴h(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增;
令h′(x)<0,解得e<x,∴h(x)在區(qū)間(e,+∞)上單調(diào)遞減.
∴h(x)在x=e時取得極大值,即最大值,h(e)=1e
∴a>1e

點評 熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、把問題等價轉(zhuǎn)化等是解題的關鍵.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判斷三角形的形狀.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知4sin2A+B2-cos2C=72,且c=7
(1)求角C
(2)求△ABC的面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

1.已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,且Sn+12an=1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=log3(1-Sn)(n∈N*),求適合方程\frac{1}{_{2}_{3}}+134+…+1nn+1=2551的n的值..

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

8.執(zhí)行如圖的程序框圖,輸出的S的值為( �。�
A.6B.5C.4D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

18.正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長相等,E為SC的中點,則BE與SA所成角的余弦值為( �。�
A.13B.12C.33D.32

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

5.下列各組對象中不能構成集合的是( �。�
A.蒙中高一(一)班的全體男生B.蒙中全校學生家長的全體
C.李明的所有家人D.王明的所有好朋友

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

2.已知兩個單位向量e1e2的夾角為π3,則|e12e2|=3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

3.已知直線l:mx+y+3=0.與圓(x+1)2+y2=2相交,弦長為2,則m=33

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
鍏� 闂�