Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx（a＞0，b∈R，c∈R），g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若函數(shù)g（x）的最小值是g（-1）=0，且c=1，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}g（{x-1}），x≥1\\-g（{x-1}），x＜1\end{array}$，求h（2）+h（-2）的值；
（2）若a=1，c=0，且|g（x）|≤1在區(qū)間（0，2]上恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)端點(diǎn)關(guān)于a的方程組，求出a，b的值，從而求出g（x）的表達(dá)式，求出h（x）的表達(dá)式，計(jì)算h（2）+h（-2）的值即可；
（2）求出g（x）的表達(dá)式，通過(guò)討論對(duì)稱軸的位置，求出g（x）的單調(diào)性，得到g（x）的最大值和最小值，從而求出b的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx（a＞0，）
g（x）=f′（x）=ax²+bx+c，
∵函數(shù)g（x）的最小值是g（-1）=0，且c=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{a-b+1=0}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=2，
∴g（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
令t=x-1，則x=t+1，
∴g（x-1）=x²
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥1}\\{{-x}^{2}，x＜1}\end{array}\right.$，
∴h（2）=4，h（-2）=-4，
∴h（2）+h（-2）=0；
（2）a=1，c=0時(shí)，g（x）=x²+bx，
對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$，開(kāi)口向上，
①-$\frac{2a}$≤0即b≥0時(shí)，
g（x）在（0，2]遞增，
g（x）_min＞g（0）=0，g（x）_max=g（2）=4+2b
若|g（x）|≤1在區(qū)間（0，2]上恒成立，
則4+2b≤1，無(wú)解；
②-$\frac{2a}$≥2，即b≤-4時(shí)，
g（x）在（0，2]遞減，
g（x）_max＜g（0）=0，g（x）_min=g（2）=4+2a，
若|g（x）|≤1在區(qū)間（0，2]上恒成立，
則4+2b≥-1，無(wú)解；
③0＜-$\frac{2a}$＜2，即-4＜b＜0時(shí)，
g（x）_min=g（-$\frac{2a}$）=-$\frac{^{2}}{4}$，g（x）_max＜g（0）=0或g（x）_max=g（2）=4+2b，
若|g（x）|≤1在區(qū)間（0，2]上恒成立，
則-$\frac{^{2}}{4}$≥-1且4+2b≤1，解得：-2≤b≤-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．