Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+lnx．（a∈R）
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知a＜0，若函數(shù)y=f（x）的圖象總在直線y=-$\frac{1}{2}$的下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，（x＞0），
a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
a＜0，f′（x）=$\frac{2a（x+\sqrt{-\frac{1}{2a}}）（x-\sqrt{-\frac{1}{2a}}）}{x}$，
∴當(dāng)x∈（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
（II）由（Ⅰ）得：a＜0時，當(dāng)x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時，函數(shù)f（x）取得極大值，也即最大值，
f（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln（-$\frac{1}{2a}$）．
∵函數(shù)y=f（x）的圖象總在直線y=-$\frac{1}{2}$的下方，
∴-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln（-$\frac{1}{2a}$）＜-$\frac{1}{2}$，解得a＜-$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．