Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$和g（x）=m（x-1）（m∈R）
（Ⅰ）m=1時(shí)，求方程f（x）=g（x）的實(shí)根；
（Ⅱ）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：$\sum_{i=1}^{1007}$$\frac{4i}{4{i}^{2}-1}$＞ln2015．

Answer 1

分析 （Ⅰ）m=1時(shí)，f（x）=g（x）化為xlnx-x²+1=0，設(shè)h（x）=xlnx-x²+1，確定其單調(diào)性，即可求方程f（x）=g（x）的實(shí)根；
（Ⅱ）任意的x∈[1，+∞），f′（x）=$\frac{lnx+x+1}{（x+1）^{2}}$＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，f′（1）=$\frac{1}{2}$，根據(jù)對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，即可求m的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知當(dāng)x＞1時(shí)，m=$\frac{1}{2}$，有l(wèi)nx＜$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$），令x=$\frac{2k+1}{2k-1}$（k為正整數(shù)），則ln$\frac{2k+1}{2k-1}$＜$\frac{1}{2}$（$\frac{2k+1}{2k-1}$-$\frac{2k-1}{2k+1}$）=$\frac{4k}{4{k}^{2}-1}$，運(yùn)用累加法，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）m=1時(shí)，f（x）=g（x）化為xlnx-x²+1=0，
設(shè)h（x）=xlnx-x²+1，則h′（x）=lnx+1-2x，
∴h″（x）=$\frac{1}{x}$-2，
∴h′（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h′（x）_max=h′（$\frac{1}{2}$）=-ln2，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（1）=0，
∴方程f（x）=g（x）的實(shí)根為x=1；
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$，
∴任意的x∈[1，+∞），f′（x）=$\frac{lnx+x+1}{（x+1）^{2}}$＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∵f′（1）=$\frac{1}{2}$，
∴對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，
令F（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），即有x∈[1，+∞），F(xiàn)（x）≤0，
F′（x）=$\frac{1}{x}$-m（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-m{x}^{2}+x-m}{{x}^{2}}$，
當(dāng)m≤0時(shí)，則F′（x）＞0，F(xiàn)（x）≥F（1）=0，與F（x）≤0矛盾；
當(dāng)m＞0時(shí)，-mx²+x-m=0的判別式為1-4m²，當(dāng)△≤0，即m≥$\frac{1}{2}$，
F′（x）≤0恒成立，即有F（x）在{1，+∞）遞減，即為F（x）≤F（1）=0，成立；
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，-mx²+x-m=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），當(dāng)x∈（1，x₂），
F′（x）＞0，F(xiàn)（x）≥F（1）=0，與F（x）≤0矛盾．
綜上可得，m≥$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知當(dāng)x＞1時(shí)，m=$\frac{1}{2}$，有l(wèi)nx＜$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$），
令x=$\frac{2k+1}{2k-1}$（k為正整數(shù)），則ln$\frac{2k+1}{2k-1}$＜$\frac{1}{2}$（$\frac{2k+1}{2k-1}$-$\frac{2k-1}{2k+1}$）=$\frac{4k}{4{k}^{2}-1}$，
即為ln（2k+1）-ln（2k-1）＜$\frac{4k}{4{k}^{2}-1}$，
即有l(wèi)n3-ln1＜$\frac{4}{4×{1}^{2}-1}$，ln5-ln3＜$\frac{4×2}{4×{2}^{2}-1}$，…，ln（2n+1）-ln（2n-1）＜$\frac{4n}{4{n}^{2}-1}$，
累加可得，ln（2n+1）＜$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{4i}{4{i}^{2}-1}$，
令n=1007，則有$\sum_{i=1}^{1007}$$\frac{4i}{4{i}^{2}-1}$＞ln2015．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，不等式的證明方法：累加法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．