Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0]時，f（x）=e^-x-ex²+a，則函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為（ ）
A．x+y=0
B．ex-y+1-e=0
C．ex+y-1-e=0
D．x-y=0

Answer 1

【答案】分析：利用f（0）=0先求出a的值，設(shè)x∈（0，+∞），根據(jù)已知條件求出f（-x），再利用奇函數(shù)，求出f（x）在（0，+∞）上的解析式，同時可求出導(dǎo)函數(shù)；求出切點坐標，再求出該點處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，利用點斜式表示出直線方程即可．
解答：解：由題意得，f（0）=1-0+a=0，解得a=-1，
∴當(dāng)x∈（-∞，0]時，f（x）=e^-x-ex²-1，
設(shè)x∈（0，+∞），則-x＜0，f（-x）=e^x-ex²-1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-e^x+ex²+1，此時x∈（0，+∞），
∴f′（x）=-e^x+2ex，
∴f^′（1）=e，
把x=1代入f（x）=-e^x+ex²+1得，f（1）=1，則切點為（1，1），
∴所求的切線方程為：y-1=e（x-1），化簡得ex-y-e+1=0，
故選B．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，奇函數(shù)性質(zhì)的利用，以及函數(shù)解析式，求函數(shù)在某范圍內(nèi)的解析式，一般先將自變量設(shè)在該范圍內(nèi)，再想法轉(zhuǎn)化到已知范圍上去，考查了轉(zhuǎn)化思想．