Question

知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜

π

2

），g（x）=2sin²x．若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為

π

2

，且直線x=

π

6

是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸．
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為

π

2

得函數(shù)的周期，求得ω．進(jìn)而根據(jù)直線x=

π

6

是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，求得sin（2•

π

6

+φ）=±1，最后根據(jù)|φ|＜

π

2

求得φ，函數(shù)的表達(dá)式可得．
（2）把f（x）和g（x）的表達(dá)式代入h（x）中，化簡(jiǎn)整理可得函數(shù)h（x）的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）由函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為

π

2

得函數(shù)周期為π，
∴w=2∵直線x=

π

6

是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，
∴sin（2•

π

6

+φ）=±1，
φ=2kπ+

π

6

或2kπ

7π

6

，（k∈Z），∵|φ|＜

π

2

，
φ=

π

6

．∴f（x）=sin（2x+

π

6

）．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=sin（2x+

π

6

）+2sin²x=sin（2x-

π

6

）+1
∵函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的單調(diào)增區(qū)間是2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
∴函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性及其三角函數(shù)的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．