Question

在數(shù)列{a_n}中，若對任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=t（t為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為比等差數(shù)列，t稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題：
①若{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_nb_n}是比等差數(shù)列．
②若數(shù)列{a_n}滿足a_n=

2n-1

n2

，則數(shù)列{a_n}是比等差數(shù)列，且比公差t=

1

2

；
③等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列；
④若數(shù)列{c_n}滿足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：①可舉{a_n}為0列，則數(shù)列{a_nb_n}為0列，顯然不滿足定義．
②代入新定義驗證可知，不滿足，
③由等比數(shù)列的特點，代入可知滿足新定義，若等差數(shù)列的公差d=0時滿足題意，當(dāng)d≠0時，不是比等差數(shù)列，可知正確，
④由遞推公式計算數(shù)列的前4項，可得

c4

c3

-

c3

c2

≠

c3

c2

-

c2

c1

，故該數(shù)列不是比等差數(shù)列．

解答： 解：①若{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，可舉{a_n}為0列，則數(shù)列{a_nb_n}為0列，顯然不滿足定義，即數(shù)列{a_nb_n}不是比等差數(shù)列，故錯誤．
②若數(shù)列{a_n}滿足a_n=

2n-1

n2

，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

2(n+1)2

(n+2)2

-

2n2

(n+1)2

 不為常數(shù)，故數(shù)列{a_n}不是比等差數(shù)列，故錯誤；
③若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比為q，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=q-q=0，為常數(shù)，故等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，
若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差為d，當(dāng)d=0時，

an+2

an+1

-

an+1

an

=1-1=0，為常數(shù)，是比等差數(shù)列，
當(dāng)d≠0時，

an+2

an+1

-

an+1

an

不為常數(shù)，故不是比等差數(shù)列，故等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列，故正確；
④若數(shù)列{c_n}滿足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），可得c₃=2，c₄=3，故

c4

c3

-

c3

c2

=1.

c3

c2

-

c2

c1

=-

1

2

，顯然

c4

c3

-

c3

c2

≠

c3

c2

-

c2

c1

，故該數(shù)列不是比等差數(shù)列，故正確；
故正確是③④，
故答案為：③④

點評：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列以及新定義，綜合性較強，有一定的難度．