Question

17．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{{3{x^2}+ax}}{e^x}（{a∈R}）$．若f（x）在x=0處取得極值，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=$\frac{3}{e}$x．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，可得f'（0）=0，解出a=0，可得切線斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線方程．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{{3{x^2}+ax}}{e^x}（{a∈R}）$的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=\frac{{-3{x^2}+（6-a）x+a}}{e^x}$，
由條件知f'（0）=0得a=0，
則$f（x）=\frac{{3{x^2}}}{e^x}，f'（x）=\frac{{-3{x^2}+6x}}{e^x}，f（1）=\frac{3}{e}，f'（1）=\frac{3}{e}$，
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為$y-\frac{3}{e}=\frac{3}{e}（x-1）$，
即$y=\frac{3}{e}x$．
故答案為：y=$\frac{3}{e}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和極值點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．