Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+4有兩個(gè)正零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a＞1
• B． a＞$\frac{3}{2}$
• C． a＞2
• D． a＞3

Answer 1

分析 計(jì)算f（x）的極值點(diǎn)和極值，對(duì)a進(jìn)行討論判斷f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出答案．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax，
令f′（x）=0得x=0或x=$\frac{2a}{3}$，
（1）若a=0，則f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)，則f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
（2）若a＞0，則當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極大值4，當(dāng)x=$\frac{2a}{3}$時(shí)，f（x）取得極小值4-$\frac{4{a}^{3}}{27}$．
∵f（x）有兩個(gè)正零點(diǎn)，
∴4-$\frac{4{a}^{3}}{27}$＜0，解得a＞3；
（3）若a＜0，則當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極小值4，當(dāng)x=$\frac{2a}{3}$時(shí)，f（x）取得極大值4-$\frac{4{a}^{3}}{27}$．
∴f（x）只有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)，不符合題意；
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．