Question

9．過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作傾斜角α的弦，若弦長(zhǎng)不超過(guò)8，則α的取值范圍是[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．

Answer 1

分析 討論直線是否有斜率，聯(lián)立方程組，利用焦點(diǎn)弦公式和根與系數(shù)的關(guān)系得出不等式解出斜率的范圍，即可得出傾斜角的范圍．

解答 解：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
（1）若過(guò)焦點(diǎn)的直線無(wú)斜率，則直線方程為x=1，代入y²=4x得y=±2，
此時(shí)弦長(zhǎng)為4，符合題意．
（2）若過(guò)焦點(diǎn)的直線有斜率，設(shè)直線方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
∴|AB|=x₁+x₂+2=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∵|AB|≤8，即4+$\frac{4}{{k}^{2}}$≤8，解得k≥1或k≤-1，
∴$\frac{π}{4}$$≤α＜\frac{π}{2}$或$\frac{π}{2}＜α≤\frac{3π}{4}$．
綜上，$\frac{π}{4}$≤α≤$\frac{3π}{4}$．
故答案為：[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，屬于中檔題．