Question

若不等式|x+2|+|x-3|≥a+

4

a-1

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：不等式|x+2|+|x-3|≥a+

4

a-1

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為a+

4

a-1

小于等于函數(shù)y=|x+2|+|x-3|的最小值，根據(jù)絕對(duì)值不等式的幾何意義可知函數(shù)y=|x+2|+|x-3|的最小值為5，因此原不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式的求解問題．

解答： 解：令y=|x+2|+|x-3|，
由絕對(duì)值不等式的幾何意義可知
函數(shù)y=|x+2|+|x-3|的最小值為5，
∵不等式|x+2|+|x-3|≥a+

4

a-1

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，
∴原不等式可化為a+

4

a-1

≤5，
解得a=3或a＜1，
故答案為：（-∞，1）∪{3}．

點(diǎn)評(píng)：考查絕對(duì)值不等式的幾何意義，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬中檔題．