Question

5．函數f（x）是定義在R上的偶函數，f（0）=0，當x＞0時，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x．
（1）求 f（-4）的函數值；
（2）求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用f（-4）=f（4），代入解析式求值；
（2）設x＜0，則-x＞0，得到f（-x），利用函數為偶函數，得到x＜0時的解析式，最后表示R上的解析式．

解答 解：（1）∵f（-4）=f（4）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}4=-lo{g}_{2}4$=-2，
（2）當x＜0時，-x＞0，
則f（-x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x）$，
∵函數f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），
∴f （x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$ （-x）．
∴函數f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x＞0}\\{0，x=0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x），x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數的性質運用；關鍵是利用已知函數為偶函數將所求轉化為已知解析式的自變量范圍內．