Question

12．已知f（x）=lgx+1（1≤x≤100），則g（x）=f²（x）+f（x²）的值域?yàn)?nbsp;       （　�。�

• A． [-2，7]
• B． [2，7]
• C． [-2，14]
• D． [2，14]

Answer 1

分析 利用題意先求出g（x）的定義域，化簡(jiǎn)g（x）=（1+log₂x）²+1+2log₂x后，設(shè)t=log₂x由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出t的范圍，代入g（x）后由二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域．

解答 解：由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤100}\\{1≤{x}^{2}≤100}\end{array}\right.$，解得1≤x≤10，
∵f（x）=lgx+1（1≤x≤100），
∴g（x）=f²（x）+f（x²）=（lgx+1）²+1+2lgx
=（lgx）²+4lgx+2，1≤x≤10
設(shè)t=lgx，則0≤t≤1，
所以h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1
∵h(yuǎn)（t）在[0，1]為增函數(shù)，且h（0）=2，h（1）=7
∴h（t）=t²+4t+2（0≤t≤1）值域?yàn)閇2，7]，
即g（x）=f²（x）+f（x²）的值域?yàn)閇2，7]，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問(wèn)題，注意自變量的范圍．