Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且

OG

=4

OF

，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以G為圓心且與拋物線C有且只有兩個(gè)交點(diǎn)的圓的方程為（　　）

• A、x²+（y-2p）²=3p²
• B、（x-2p）²+y²=3p²
• C、x²+（y-2p）²=p²
• D、（x-2p）²+y²=p²

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出G的坐標(biāo)，再設(shè)以G為圓心的圓的方程為x²+（y-2p）²=r²，將x²=2py代入，整理，根據(jù)以G為圓心且與拋物線C有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，可得△=4p²-4（4p²-r²）=0，由此可求圓的半徑，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且

OG

=4

OF

，
∴G（0，2p），
設(shè)以G為圓心的圓的方程為x²+（y-2p）²=r²，
將x²=2py代入，整理可得y²-2py+4p²-r²=0
∵以G為圓心且與拋物線C有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=4p²-4（4p²-r²）=0，
∴r²=3p²，
∴以G為圓心的圓的方程為x²+（y-2p）²=3p²．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查圓與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．