Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2。

(1)求證：CE∥平面PAB;
(2)求四面體PACE的體積.

Answer 1

(1)詳見(jiàn)解析；(2)

試題分析：(1)要證CE∥平面PAB，可以轉(zhuǎn)換為證明，而要證明又可轉(zhuǎn)化為與（另外也可以轉(zhuǎn)化為線線平行） ；(2)要求四面體PACE的體積，可轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)求以E為頂點(diǎn)PAC為底面的三棱錐的體積.
試題解析：(1)法一：取AD得中點(diǎn)M，連接EM,CM.

則EM//PA             1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240416546781059.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，      2分
在中，
所以，
而,所以,MC//AB.  3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240416548651010.png" style="vertical-align:middle;" /> 
所以，       4分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041654896705.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240416549431122.png" style="vertical-align:middle;" />  6分
法二：    延長(zhǎng)DC,AB,交于N點(diǎn)，連接PN. 1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240416549591031.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，C為ND的中點(diǎn).                        3分
因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以，EC//PN
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240416549741031.png" style="vertical-align:middle;" /> 
                       6分
（2）法一：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 7分
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041655037708.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，            8分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041655084776.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，                       10分
因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)
所以點(diǎn)E平面PAC的距離 ，
所以，四面體PACE的體積 12分
法二：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041655037708.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，    10分
因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)
所以，四面體PACE的體積      12分