Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=8，a₄=16；數(shù)列{b_n}的前n項和T_n滿足T_n=2-b_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=

a

2 n

•b_n，證明：當(dāng)n≥3且n∈N^*時，c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可求公差d，然后代入等差數(shù)列的通項公式可求a_n；由T_n=2-b_n，可求b₁，然后利用當(dāng)n≥2時，利用b_n=T_n-T_n-1，可得，b_n與b_n-1的遞推公式，即可求解
（2）由c_n＞0可知，要證明n≥3時，c_n+1＜c_n，只要證明

cn+1

cn

＜1即可

解答：（1）解：∵a₂=8，a₄=16
∴d=

16-8

4-2

=4
∴a_n=a₂+（n-2）×4=4n
∵T_n=2-b_n，
當(dāng)n=1時，b₁=2-b₁即b₁=1
當(dāng)n≥2時，T_n=2-b_n，T_n-1=2-b_n-1，
兩式相減可得，b_n=b_n-1-b_n，
∴bn=

1

2

bn-1
∴bn=(

1

2

)n-1
（2）證明：∵c_n=

a

2 n

•b_n=16n2(

1

2

)n-1＞0
∴n≥3時，

cn+1

cn

=

16(n+1)2( 1 2 ×)n

16n2( 1 2 )n-1

=

(1+ 1 n )2

2

∵1+

1

n

隨著n的增大而減少
∴n≥3時，1+

1

n

≤

4

3

∴

cn+1

cn

=

(1+ 1 n )2

2

≤

8

9

＜1
∴c_n+1＜c_n，n≥3

點評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用及利用比較法判斷數(shù)列的項的大小，屬于數(shù)列知識的簡單綜合