如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形,側(cè)面AA1C1C是正方形, E是的中點(diǎn),F是棱CC1上的點(diǎn).
(1)當(dāng)時,求正方形AA1C1C的邊長;
(2)當(dāng)A1F+FB最小時,求證:AE⊥平面A1FB.
(1)2;(2)參考解析
解析試題分析:(1)依題意可得△EAB的面積為定值,點(diǎn)F到平面EAB的距離為定值即為點(diǎn)C到平面平面的距離.又因?yàn)椤鰽BC為正三角形,側(cè)面AA1C1C是正方形,所以假設(shè)正方形AA1C1C為x,再根據(jù)
等式,即可求出結(jié)論.
(2)因?yàn)楫?dāng)A1F+FB最小時,即需要將三棱柱的側(cè)面展開,通過計(jì)算得到符合條件的F為中點(diǎn).由線面垂直的判斷定理,轉(zhuǎn)化為線線垂直,由條件的即可證得.解(二)通過線段長的計(jì)算得到直角三角形,從而得到線與線垂直,也可行.
試題解析:(1)設(shè)正方形AA1C1C的邊長為由于E是
的中點(diǎn),△EAB的面積為定值.
∥平面
,
點(diǎn)F到平面EAB的距離為定值即為點(diǎn)C到平面平面
的距離
又,且
=
.即
,
.
(2)解法一:將側(cè)面展開到側(cè)面
得到矩形
,連結(jié)
,交
于點(diǎn)
,此時點(diǎn)
使得
最小.此時
平行且等于
的一半,
為
的中點(diǎn).
取AB中點(diǎn)O,連接OE,EF,OC,為平行四邊形,
△ABC為正三角形,
,又
平面ABC,
,且
,
平面
,
平面
,
,又
∥
,
由于E是
的中點(diǎn),所以
,又
,
所以直線AE與平面垂直
解法二:將側(cè)面展開到側(cè)面
得到矩形
,連結(jié)
,交
于點(diǎn)
,此時點(diǎn)
使得
最小.此時
平行且等于
的一半,
為
的中點(diǎn).
過點(diǎn)作
交
于
,則
是
的中點(diǎn),
.
過點(diǎn)作
交
于
,則
又于是在
中,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,G、H分別為DC、BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面FGH∥平面BDE;
(2)求證:平面ACF⊥平面BDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是梯形,且AD=DC=CB=AB.直角梯形ACEF中,
,
是銳角,且平面ACEF⊥平面ABCD.
(1)求證:;
(2)若直線DE與平面ACEF所成的角的正切值是,試求
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正方形ABCD所在的平面與三角形CDE所在的平面交于CD,AE⊥平面CDE,且AB=2AE.
(1)求證:AB∥平面CDE;
(2)求證:平面ABCD⊥平面ADE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB=EF.
(1)求證:BF∥平面ACE;
(2)求證:BF⊥BD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐O ABCD中,底面ABCD為菱形,OA⊥平面ABCD,E為OA的中點(diǎn),F(xiàn)為BC的中點(diǎn),求證:(1)平面BDO⊥平面ACO;(2)EF∥平面OCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱,
,底面
為直角梯形,其中BC∥AD, AB⊥AD,
,O為AD中點(diǎn).
(1)求直線與平面
所成角的余弦值;
(2)求點(diǎn)到平面
的距離;
(3)線段上是否存在一點(diǎn)
,使得二面角
的余弦值為
?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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