如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形，側(cè)面AA1C1C是正方形, E是的中點(diǎn),F是棱CC1上的點(diǎn).

（1）當(dāng)時，求正方形AA1C1C的邊長；
（2）當(dāng)A1F+FB最小時，求證：AE⊥平面A1FB.

（1）2；（2）參考解析

解析試題分析：（1）依題意可得△EAB的面積為定值，點(diǎn)F到平面EAB的距離為定值即為點(diǎn)C到平面平面的距離.又因?yàn)椤鰽BC為正三角形，側(cè)面AA1C1C是正方形，所以假設(shè)正方形AA1C1C為x，再根據(jù)等式，即可求出結(jié)論.
（2）因?yàn)楫?dāng)A1F+FB最小時，即需要將三棱柱的側(cè)面展開，通過計(jì)算得到符合條件的F為中點(diǎn).由線面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為線線垂直，由條件的即可證得.解（二）通過線段長的計(jì)算得到直角三角形，從而得到線與線垂直，也可行.
試題解析：（1）設(shè)正方形AA1C1C的邊長為由于E是的中點(diǎn)，△EAB的面積為定值.
∥平面，點(diǎn)F到平面EAB的距離為定值即為點(diǎn)C到平面平面的距離
又，且=.即，. 
（2）解法一：將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時點(diǎn)使得最小.此時平行且等于的一半,

為的中點(diǎn).
取AB中點(diǎn)O，連接OE,EF，OC，為平行四邊形，

△ABC為正三角形，，又平面ABC，,且,平面,平面，
,又∥,由于E是的中點(diǎn)，所以,又,
所以直線AE與平面垂直
解法二：將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時點(diǎn)使得最小.此時平行且等于的一半,為的中點(diǎn).
過點(diǎn)作交于，則是的中點(diǎn)，.
過點(diǎn)作交于，則
又于是在中，

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，G、H分別為DC、BC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面FGH∥平面BDE；
(2)求證：平面ACF⊥平面BDE.

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如圖，四棱錐中,面，、分別為、的中點(diǎn)，.

（1）證明：∥面；
（2）證明：

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如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF中，，是銳角，且平面ACEF⊥平面ABCD．

（1）求證：；
（2）若直線DE與平面ACEF所成的角的正切值是，試求的余弦值．

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如圖，正方形ABCD所在的平面與三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB＝2AE.

(1)求證：AB∥平面CDE；
(2)求證：平面ABCD⊥平面ADE.

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如圖，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.

(1)求證：BF∥平面ACE；
(2)求證：BF⊥BD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐O ­ABCD中，底面ABCD為菱形，OA⊥平面ABCD，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：(1)平面BDO⊥平面ACO；(2)EF∥平面OCD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱,,底面為直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O為AD中點(diǎn).

(1)求直線與平面所成角的余弦值；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在,求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在幾何體中，，,，且，.

（I）求證:；
（II）求二面角的余弦值.

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