Question

4．函數(shù)$f（x）={e^x}+\frac{1}{x}$（x＞0），若x₀滿足f'（x₀）=0，設(shè)m∈（0，x₀），n∈（x₀，+∞），則（　�。�

• A． f'（m）＜0，f'（n）＜0
• B． f'（m）＞0，f'（n）＞0
• C． f'（m）＜0，f'（n）＞0
• D． f'（m）＞0，f'（n）＜0

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對f（x）求導(dǎo)可得f′（x），若f'（x₀）=0，則有${e}^{{x}_{0}}（{x}_{0}）^{2}$=1，將m、n的值 代入計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)$f（x）={e^x}+\frac{1}{x}$（x＞0），
其導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}•{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
若f'（x₀）=0，則有${e}^{{x}_{0}}（{x}_{0}）^{2}$=1，
當(dāng)m∈（0，x₀），即m＜x₀，f'（m）=$\frac{{e}^{m}•{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$＜0，
n∈（x₀，+∞），即n＞x₀，f'（n）=$\frac{{e}^{m}•{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$＞0，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是計算函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)．