Question

19．已知點F為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，F(xiàn)關于直線y=$\frac{1}{3}$x的對稱點在C上，則C的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

Answer 1

分析 雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F（c，0），設F（c，0）關于直線y=$\frac{1}{3}$x的對稱點P（x₀，y₀），從而根據(jù)兩點與直線的位置關系可得，求出點P的坐標，再代入到雙曲線方程中，即可求出$\frac{a}$的值，即可得到雙曲線的漸近線方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F（c，0），設F（c，0）關于直線y=$\frac{1}{3}$x的對稱點P（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=\frac{1}{3}•\frac{{x}_{0}+c}{2}}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}=-3}\end{array}\right.$，
解得x₀=$\frac{4}{5}$c，y₀=$\frac{3}{5}$c，
即P（$\frac{4}{5}$c，$\frac{3}{5}$c），
代入雙曲線方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1得$\frac{16{c}^{2}}{25{a}^{2}}$-$\frac{9{c}^{2}}{25^{2}}$=1，
即16×$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$-9×$\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}}$=25，
即16（1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$）-9（$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+1）=25，
設$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=m，
則16（1+m）-9（$\frac{1}{m}$+1）=25，
整理可得16m²-18m-9=0，
即（2m-3）（8m+3）=0，
解得m=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故則C的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
故答案為：y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質和對稱點的問題，考查了學生的運算能力，屬于中檔題