Question

4．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊，向量$\overrightarrow{m}$=（a+b，-c），$\overrightarrow{n}$=（a+b，c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2+$\sqrt{3}$）ab．
（1）求角C
（2）函數(shù)f（x）=2sin（A+B）cos²（ωx）-cos（A+B）sin（2ωx）-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的相鄰兩條對(duì)稱軸分別為x=x₀，x=x₀+$\frac{π}{2}$，求f（x）在區(qū)間[-π，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合余弦定理，即可求出C的值；
（2）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）因?yàn)橄蛄?\overrightarrow{m}$=（a+b，-c），$\overrightarrow{n}$=（a+b，c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2+$\sqrt{3}$）ab，
所以a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，故cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{6}$；…（4分）
（2）f（x）=2sin（A+B）cos²（ωx）-cos（A+B）sin（2ωx）-$\frac{1}{2}$
=2sinCcos²ωx+cosCsin2ωx-$\frac{1}{2}$
=cos²ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），…（7分）
因?yàn)橄噜弮蓷l對(duì)稱軸分別為x=x₀，x=x₀+$\frac{π}{2}$，
所以f（x）的最小正周期為T=π，ω=1；
 所以f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；…（9分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；…（10分）
又因?yàn)閤∈[-π，π]，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-π，-$\frac{5π}{6}$]，[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問題，是綜合性題目．