Question

請寫出下列說法正確的番號

 

①從左到右讀與從左到右讀都一樣的正整數(shù)被稱為“回文數(shù)”，例如22，121等，則4位回文數(shù)有91個；
②已知2×1=2，2²×1×3=3×4，2³×1×3×5=4×5×6，…依此類推第n個等式是2ⁿ×1×3×5×…×（2n-1）=（n+1）（n+2）（n+3）…×2n
③當n∈N^*時，定義函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，記S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）（n∈N^*），則S（n）=

4n

3

+

2

3

④已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）…，則第60個“整數(shù)對”是（6，6）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,閱讀型,推理和證明

分析：①依題意，利用排列組合可求得4位回文數(shù)共有

C

1 9

•

C

1 10

=90個；
②利用歸納法可得第n個等式，從而可知②之正誤；
③利用累加法可求得S_n-S₁=

4(1-4n-1)

1-4

，繼而可求得S_n=

4n

3

+

2

3

，從而可知③正確；
④可以利用坐標分析一下規(guī)律，從而可判斷④的正誤．

解答： 解：①依題意，排在千位的與排在個位的數(shù)相同，可以是1、2、…9中的任何一個，有

C

1 9

種方法，排在百位的與排在十位的數(shù)相同，可以是0、1、2、…9中的任何一個，有

C

1 10

種方法，
∴4位回文數(shù)共有

C

1 9

•

C

1 10

=90個，故①錯誤；
②∵2×1=2，
2²×1×3=3×4，
2³×1×3×5=4×5×6，…
依此類推第n個等式是2ⁿ×1×3×5×…×（2n-1）=（n+1）（n+2）（n+3）…×2n，正確；
③因為當n∈N^*時，定義函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，利用此定義有：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…，
所以S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ），
而S₂-S₁=N（3）+N（4）=4，
S₃-S₂=N（5）+N（6）+N（7）+N（8）=16，
S₄-S₃=64，
…
S_n-S_n-1=N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2^n-1+2^n-1）=4^n-1，
以上各式相加得：S_n-S₁=

4(1-4n-1)

1-4

，而S₁=N（1）+N（2）=2，代入得到：S_n=

4n

3

+

2

3

，故③正確；
④可以利用坐標分析一下規(guī)律：
（1，1）一個點，
（1，2）（2，1）兩個點，
（1，3）（2，2）（3，1）三個點，
（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）四個點，
（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）五個點，
…
這樣第60個數(shù)對，先估分析到了那一排，
∵1+2+3+4+…+10=55，
∴第60個數(shù)對在第11排第5個數(shù)，
第11排的數(shù)為：（1，11）（2，10）（3，9）（4，8）（5，7）…，
∴第60個“整數(shù)對”是（5，7），故④錯誤；
綜上所述，正確的只有②③，
故答案為：②③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查分析創(chuàng)新思維、邏輯思維及推理運算能力、屬于難題．