Question

12．已知橢圓C過點$A（1，\frac{3}{2}）$，兩個焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）EF是過橢圓焦點F₁的動直線，B為橢圓短軸上的頂點，當(dāng)B到直線EF的距離最大時，求△EFB的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知可得c，設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{{1+{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，把A的坐標(biāo)代入橢圓方程求得b，則橢圓方程可求；
（2）不妨取$B（0，\sqrt{3}）$，則${K_{B{F_1}}}=\sqrt{3}$，由題意知EF⊥BF₁，求得${k}_{EF}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，得到直線EF的方程，代入3x²+4y²=12，得：13x²+8x-32=0．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系可得E、F的橫坐標(biāo)的和與積，求得EF的長度，再求出BF₁的長度，可得當(dāng)B到直線EF的距離最大時△EFB的面積．

解答 解：（1）由題意，c=1，可設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{{1+{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$．
∵A在橢圓上，∴$\frac{1}{{1+{b^2}}}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，
解得b²=3，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）不妨取$B（0，\sqrt{3}）$，則${K_{B{F_1}}}=\sqrt{3}$，
當(dāng)B到直線EF的距離最大時，EF⊥BF₁，∴${k}_{EF}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴直線EF：$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}（x+1）$，將其代入3x²+4y²=12，得：13x²+8x-32=0．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8}{13}，{x_1}{x_2}=-\frac{32}{13}$，
∴$|{EF}|=\sqrt{1+\frac{1}{3}}\sqrt{{{（{-\frac{8}{13}}）}^2}+\frac{4×32}{13}}=\frac{48}{13}$，
又$|{B{F_1}}|=\sqrt{{1^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}=2$，
∴${S_{△EFB}}=\frac{48}{13}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．