Question

【題目】△ABC的三角A，B，C的對邊分別為a，b，c滿足（2b﹣c）cosA=acosC．
（1）求A的值；
（2）若a=2，求△ABC面積的最大值；
（3）若a=2，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：將（2b﹣c）cosA=acosC代入正弦定理得：

（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，

即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，

由B∈（0，180°），得到sinB≠0，

所以cosA= ，又A∈（0，180°），

則A的度數(shù)為60°

（2）解：∵a=2，A=60°，

∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得

4=b2+c2﹣2bccos60°，即b2+c2﹣bc=4

∴b2+c2=4+bc≥2bc，可得bc≤4

又∵△ABC的面積S= bcsinA= bc≤

∴當且僅當b=c=2時，△ABC的面積的最大值為 ，此時△ABC是等邊三角形

（3）解：由題意，b＞0，c＞0，b+c＞a=2，

∴由余弦定理4=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc≥ （b+c）2（當且僅當b=c時取等號），

∴b+c≤4，

∵b+c＞2，

∴2＜b+c≤4，

∴△ABC的周長的取值范圍為（4，6]

【解析】（1）利用正弦定理化簡已知的等式，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinB不為0，得到cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，得到b2+c2﹣bc=4，結(jié)合基本不等式求出bc≤4，再用正弦定理的面積公式算出當且僅當b=c=2時，△ABC的面積的最大值為 ．（3）利用余弦定理結(jié)合基本不等式，可求△ABC的周長的取值范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:．