Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1，
（1）設(shè)集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分別從集合P和集合Q中任取一個(gè)數(shù)作為a和b的值，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）若a是從區(qū)間[1，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[1，3]任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）求出方程f（x）=0有兩相等實(shí)根的等價(jià)條件，利用古典概型的概率公式，即可得到結(jié)論．
（2）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式求出相應(yīng)的面積即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分別從集合P和集合Q中任取一個(gè)數(shù)作為a和b的值，
則滿足條件的a，b共有6×6=36種．
若a=-1，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)不成立，
若a＞0，要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，則對(duì)稱軸x=-

-4b

2a

=

2b

a

≤1，即a≥2b，
①若a=1，則b=-2，-1；
②若a=2，則b=-2，-1，1；
③若a=3，則b=-2，-1，1；
④若a=4，則b=-2，-1，1，2；
⑤若a=5，則b=-2，-1，1，2，
∴故滿足條件的數(shù)對(duì)（a，b）共有16種，
則根據(jù)古典概型的概率公式可得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率P=

16

36

=

4

9

（2）∵a是從區(qū)間[1，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[1，3]任取的一個(gè)數(shù)
∴1≤a≤3，且1≤b≤3對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積S=2×2=4，
∴若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，則對(duì)稱軸x=-

-4b

2a

=

2b

a

≤1，即a≥2b，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：陰影部分
則A（3，1），
當(dāng)a=3時(shí)，b=

3

2

，即D（3，

3

2

），
當(dāng)b=1時(shí)，a=2，即C（2，1），
則三角形ACD的面積S=

1

2

×(3-2)×(

3

2

-1)=

1

4

則由幾何概型的概率公式可得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率為

1 4

4

=

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率的計(jì)算，根據(jù)古典關(guān)系和幾何概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵．