Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，平面B₁ED交A₁D₁于F
（1）指出F在A₁D₁上的位置，并證明．
（2）求直線(xiàn)A₁C與B₁F所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出

B1F

與

ED

，再根據(jù)向量平行建立等量關(guān)系，從而求出點(diǎn)F的位置；
（2）先分別求出直線(xiàn)A₁C與B₁F的向量坐標(biāo)，求出向量

A1C

與

B1F

的夾角余弦值，再根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的范圍求出直線(xiàn)A₁C與B₁F所成角的余弦值即可．

解答：解：（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
∵面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁，面B₁EDF∩面A₁B₁C₁D₁=B₁F，
面B₁EDF∩面ABCD=DE
∴B₁F∥DE
又∵D（0，1，0），E（1，

1

2

，0），B₁（1，0，1）
設(shè)F（0，y，1），則

B1F

=（-1，y，0），

ED

=（-1，

1

2

，0）
∴(-1)•

1

2

-y•(-1)=0即y=

1

2

∴|

A1F

| =

1

2

=

1

2

|

A1D1

|
∴F為A₁D₁的中點(diǎn)
（2）A₁（0，0，1），C（1，1，0），則

A1C

=（1，1，-1），cos＜

A1C

， 

B1F

＞=-

15

5

∴A₁C與B₁F所成角的余弦值為

15

15

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查異面直線(xiàn)所成的角，以及空間向量，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．