Question

15．某架飛機(jī)載有5位空降兵空降到A、B、C三個(gè)地點(diǎn)，每位空降兵都要空降到A、B、C中任意一個(gè)地點(diǎn)，且空降到每一個(gè)地點(diǎn)的概率都是$\frac{1}{3}$，用ξ表示地點(diǎn)C空降人數(shù)，求：
（Ⅰ）地點(diǎn)A空降1人，地點(diǎn)B、C各空降2人的概率；
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析 （I）先求出基本事件的總數(shù)，再求出“地點(diǎn)A空降1人，地點(diǎn)B、C各空降2人”包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出所求事件的概率．
（ II）由題意知隨機(jī)變量ξ～B（5，$\frac{1}{3}$），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）基本事件的總數(shù)為3⁵個(gè)，
“地點(diǎn)A空降1人，地點(diǎn)B、C各空降2人”包含的基本事件為$C_5^1C_4^2$，…（3分）
所以所求事件的概率為：$P=\frac{C_5^1C_4^2}{3^5}=\frac{10}{81}$；…（5分）
（ II）由題意知隨機(jī)變量ξ～B（5，$\frac{1}{3}$），…（7分）
∴隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=${C}_{5}^{0}（\frac{2}{3}）^{5}$=$\frac{32}{243}$，
P（ξ=1）=${C}_{5}^{1}•\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{40}{243}$，
P（ξ=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}•\frac{2}{3}$=$\frac{10}{243}$，
P（ξ=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{3}）^{5}$=$\frac{1}{243}$，…（10分）
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

…（11分）
根據(jù)二項(xiàng)分布得數(shù)學(xué)期望$Eξ=5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型承受機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．