Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，AB=2EF．
（1）若M是線段AD的中點(diǎn)，求證：GM∥平面ABFE；
（2）若AC=BC=2AE=2，求二面角A-BF-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出∠EGF=90°，△ABC∽△EFG，連結(jié)AF，推導(dǎo)出四邊形AFGM為平行四邊形，由此能證明GM∥平面ABFE．
（2）分別以AC，AD，AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出二面角A-BF-C的余弦值．

解答： （1）證明：∵EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，∠ACB=90°，
∴∠EGF=90°，△ABC∽△EFG．…．（2分）
∵AB=2EF，∴BC=2FG，
連結(jié)AF，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G=

1

2

BC，…．（3分）
在平行四邊形ABCD中，M是線段AD的中點(diǎn)，
∴AM∥BC，且AM=

1

2

BC，…．（4分）
∴FG∥AM，且FG=AM，
∴四邊形AFGM為平行四邊形，∴GM∥FA，
又FA?平面ABFE，GM不包含于平面ABFE，
∴GM∥平面ABFE．…（6分）
（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，
又EA⊥平面ABCD，∴AC，AD，AE兩兩垂直．
分別以AC，AD，AE所在直線為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．…．（7分）
則由題意知A（0，0，0），B（2，-2，0），
C（2，0，0），D（0，0，1）…．（8分）
∴

AB

=（2，-2，0），

BC

=（0，2，0），
又EF=

1

2

AB，∴F（1，-1，1），

BF

=（-1，1，1）．
設(shè)平面BFC的法向量

m

=（x，y，z），
則

m • BC =2y=0 m • BF =-x+y+z=0

，
取x=1，得

m

=（1，0，1）…．（10分）
設(shè)平面ABF的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
則

n • AB =2x1-2y1=0 n • BF =-x1+y1+z1=0

，
取x₁=1，得

n

=（1，1，0）．…．（12分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2 • 2

=

1

2

，
故二面角A-BF-C的余弦值為

1

2

．…．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．