Question

某選手欲參加“開心辭典”節(jié)目，但必須通過一項(xiàng)包含5道試題的達(dá)標(biāo)測(cè)試．測(cè)試規(guī)定：對(duì)于提供的5道試題，參加者答對(duì)3道題即可通過．為節(jié)省測(cè)試時(shí)間，同時(shí)規(guī)定：若答題不足5道已通過，則停止答題，若答題不足5道，但已確定不能通過，也停止答題．假設(shè)該選手答對(duì)每道題的概率均為

2

3

，且各題對(duì)錯(cuò)互不影響．
（Ⅰ）求該選手恰好答完4道題就通過點(diǎn)的概率；
（Ⅱ）設(shè)在一次測(cè)試中該選手答題數(shù)位ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式能求出該選手恰好答題4道就通過的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為3，4，5，分別求出P（ξ=3），P（ξ=5），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）該選手恰好答題4道就通過的概率為：
p=

C

2 3

(

2

3

)3•

1

3

=

8

27

．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為3，4，5，
P（ξ=3）=(

1

3

)3+(

2

3

)3=

1

3

，
P（ξ=5）=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

8

27

，
P（ξ=4）=1-

1

3

-

8

27

=

10

27

，
∴ξ的分布列為：

ξ	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．