Question

9．2017年兩會繼續(xù)關注了鄉(xiāng)村教師的問題，隨著城鄉(xiāng)發(fā)展失衡，鄉(xiāng)村教師待遇得不到保障，流失現(xiàn)象嚴重，教師短缺會嚴重影響鄉(xiāng)村孩子的教育問題，為此，某市今年要為兩所鄉(xiāng)村中學招聘儲備未來三年的教師，現(xiàn)在每招聘一名教師需要2萬元，若三年后教師嚴重短缺時再招聘，由于各種因素，則每招聘一名教師需要5萬元，已知現(xiàn)在該鄉(xiāng)村中學無多余教師，為決策應招聘多少鄉(xiāng)村教師搜集并整理了該市100所鄉(xiāng)村中學在過去三年內(nèi)的教師流失數(shù)，得到下面的柱狀圖：
以這100所鄉(xiāng)村中學流失教師數(shù)的頻率代替1所鄉(xiāng)村中學流失教師數(shù)發(fā)生的概率，記X表示兩所鄉(xiāng)村中學在過去三年共流失的教師數(shù)，n表示今年為兩所鄉(xiāng)村中學招聘的教師數(shù)．為保障鄉(xiāng)村孩子教育部受影響，若未來三年內(nèi)教師有短缺，則第四年馬上招聘．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；
（Ⅲ）以未來四年內(nèi)招聘教師所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應選用哪個？

Answer 1

分析 （I）先根據(jù)柱狀圖計算一所學校流失老師數(shù)的概率，再得出X對應的各種情況的概率，得出X的分布列；
（II）根據(jù)分布列計算即可；
（III）分別計算n=19和n=20兩種情況下，招聘費用的數(shù)學期望值即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一所高校在三年內(nèi)流失的人才數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，
從而P（X=16）=0.2×0.2=0.04；
P（X=17）=2×0.2×0.4=0.16；
P（X=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；
P（X=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；
P（X=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；
P（X=21）=2×0.2×0.2=0.08；
P（X=22）=0.2×0.2=0.04．
所以X的分布列為

X	16	17	18	19	20	21	22
P	0.04	0.16	0.24	0.24	0.2	0.08	0.04

（Ⅱ）由（Ⅰ）知P（X≤18）=0.44，P（X≤19）=0.68，
故n的最小值為19．
（Ⅲ）記Y表示兩所鄉(xiāng)村中學未來四年內(nèi)在招聘教師上所需的費用（單位：萬元）．
當n=19時，EY=19×2×0.68+（19×2+5）×0.2+（19×2+2×5）×0.08+（19×2+3×5）×0.04=40.4．
當n=20時，EY=20×2×0.88+（20×2+5）×0.08+（20×2+2×5）×0.04=40.8．
可知當n=19時所需費用的期望值小于n=20時所需費用的期望值，故應選n=19．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與均值計算，屬于中檔題．