Question

18．已知P是圓C：（x+1）²+y²=16．上任意一點，A（1，0），線段PA的垂直平分線與PC相交于點Q．
（1）求點Q的軌跡方程；
（2）已知直線y=kx+m與點Q的軌跡方程相交于M，N兩點，且滿足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，求證：$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段中垂線的性質可得|QA|=|QP|，又|QC|+|QP|=4（半徑），|QC|+|QA|=4＞|AC|=2根據(jù)橢圓的定義判斷軌跡橢圓，求出a、b值，即得橢圓的標準方程；
（2）將y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$并整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，利用$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，可得7m²=12（k²+1）．即可證明結論．

解答 解：（1）由圓的方程可知，圓心C（-1，0），半徑等于4，設點Q的坐標為（x，y ），
∵線段PA的垂直平分線與PC相交于點Q，
∴|QA|=|QP|．
又|QC|+|QP|=4（半徑），
∴|QC|+|QA|=4＞|AC|=2．
∴點Q滿足橢圓的定義，且2a=4，2c=2，
∴a=2，c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴點M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）將y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$并整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
可得7m²=12（k²+1）．
設點O到直線MN的距離為h，則h=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
在△OMN中，由等面積法知|MN|h=|OM||ON|
所以，$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$=$\frac{|MN{|}^{2}}{|OM{|}^{2}|ON{|}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{7}{12}$．

點評 本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．