Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，過點P（4，0）且不垂直于x軸的直線l與曲線C相交于A，B兩點．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍；
（2）若B點關于x軸的對稱點為E點，探索直線AE與x軸的相交點是否為定點．

Answer 1

分析 （1）設直線l的方程為y=k（x-4），代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，結合向量的數(shù)量積的坐標表示，即可得到所求范圍；
（2）由對稱求得E的坐標，直線AE的方程，由A，B滿足直線方程，再令y=0，代入韋達定理，即可得到定點（1，0）．

解答 解：（1）由題意知直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y=k（x-4），
代入橢圓方程，消去y得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
由△=（-32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，
得-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$．
設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，x₁x₂=$\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$①，
可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²=25-$\frac{87}{{3+4{k^2}}}$，
由-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，可得25-$\frac{87}{{3+4{k^2}}}$∈[-4，$\frac{13}{4}$），
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是[-4，$\frac{13}{4}$）；
（2）直線與x軸相交于定點（1，0）．
由B，E關于x軸對稱，可得點E的坐標為（x₂，-y₂），
直線AE的方程為y-y₁=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$（x-x₁），
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
令y=0，代入①得x=$\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{2{x_1}{x_2}-4（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}-8}}=1$．
可得直線與x軸相交于定點（1，0）．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的范圍，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和向量的數(shù)量積的坐標表示，考查直線恒過定點的求法，注意運用直線方程，化簡整理，屬于中檔題．