Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，其右焦點(diǎn)為F（c，0），第一象限的點(diǎn)A在橢圓C上，且AF⊥x軸．
（1）若橢圓C過點(diǎn)（1，-$\frac{3}{2}$），求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l：y=x-c與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且B（4c，y_B）為直線l上的點(diǎn)．證明：直線AM，AB、AN的斜率滿足k_AB=$\frac{{k}_{AM}+{k}_{AN}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由離心率公式可得橢圓C的方程為3x²+4y²=12c²，將直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由直線的斜率公式化簡整理，即可得證．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
將點(diǎn)（1，-$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
解方程可得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
即有橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）證明：由e=$\frac{1}{2}$，可得a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
則橢圓C的方程為3x²+4y²=12c²，
將直線l：y=x-c代入橢圓方程，可得7x²-8cx-8c²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{8c}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8{c}^{2}}{7}$，
由題意可得B（4c，3c），A（c，$\frac{3c}{2}$），
則k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}c}{{x}_{1}-c}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3c}{2}}{{x}_{2}-c}$=$\frac{{x}_{1}-\frac{5}{2}c}{{x}_{1}-c}$+$\frac{{x}_{2}-\frac{5}{2}c}{{x}_{2}-c}$
=$\frac{{2x}_{1}{x}_{2}-\frac{7}{2}c（{x}_{1}+{x}_{2}）+5{c}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+{c}^{2}-c（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{-16{c}^{2}-28{c}^{2}+35{c}^{2}}{-8{c}^{2}+7{c}^{2}-8{c}^{2}}$=1，
k_AB=$\frac{3c-\frac{3}{2}c}{4c-c}$=$\frac{1}{2}$，
則k_AB=$\frac{{k}_{AM}+{k}_{AN}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線的斜率之間的關(guān)系，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．